निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
चूंकि $\sin^{2}(-x) = (\sin(-x))^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$,इसलिए फलन $f(x) = \sin^{2} x$ एक सम फलन है।
सम फलन के लिए गुण $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$.
पदों का समाकलन करने पर:
$I = \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.